Sciences physiques

Le mouvement brownien

Sciences physiques, La décennie prodigieuse (1895-1905)

Appendice 3 :

Nous donnons une preuve approximative de la formule (2). Une sphère de rayon r animée d’une vitesse v dans un fluide de viscosité h est soumise, d’après une formule due à Stokes, à une force 6phrv. Sa vitesse évolue donc selon la loi : 

m dv/dt = –6phrv

Si on néglige les fluctuations thermiques, elle s’annule donc au bout d’un temps : t=m/(6phr

Nous allons maintenant tenir compte des fluctuations thermiques. Le rayon r est de quelques microns. Pour des particules aussi grosses la physique classique est applicable et les effets quantiques peuvent être ignorés. Dans ces conditions la mécanique statistique nous enseigne que la valeur quadratique moyenne de l’énergie est kBT/2 par degré de liberté. Dans notre espace à 3 dimensions, la vitesse quadratique moyenne de la particule est donc : <v2>=3kBT/(2m)

Le déplacement quadratique moyen dans le temps est de l’ordre de <v2>t 2. Le déplacement quadratique moyen dans le temps t>> s’obtient approximativement en le multipliant par t/t. 

Il est donc égal à : <x2(t)>= <v2>tt=t kBT/(4phr)
 
Cette formule approchée diffère de la formule exacte (2) d’Einstein par un facteur ¼ . La démonstration qui précède (un peu plus simple que celle d’Einstein) n’aurait peut-être pas convaincu les physiciens du début du vingtième siècle, encore peu familiers avec la physique statistique et la formule (III.a).
Publié ou mis à jour le : 2018-11-27 09:50:14

 
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